有关圆的几个考查点

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在完全掌握与圆有关的知识点条件下,以轴对称的视角理解圆的基本性质,以运动的视角理解与圆有关的位置关系,并灵活地与教材中其他相关知识点建立起紧密联系.当圆周角的顶点在圆周上运动时,同弧所对的圆周角、圆心角的位置关系会出现三种情况,圆心在圆周角内、圆周角外、圆周角边上,而它们的数量关系是不变的,前者是后者的一半.与圆有关的三个直角直径上的圆周角、切线与过切点的半(直)径构成的角、弦与垂直于此弦的半(直)径形成的角,从而在直角三角形中解决问题.可以按轴对称、折叠的动态思维感悟和理解垂径定理及其推论.①过圆心的直线;②垂直于此弦;③平分此弦(不是直径);④平分优弧;⑤平分劣弧.由五个条件中任选两个作为已知,则可得出其他三个结论.
已知直线与圆相切,常用方法是连接切点和圆心,构成直角三角形来解答.求证直线与圆相切,常用方法是证明出过半(直)径外端的直线与半(直)径垂直.以下四个方面是考查的热点,也常常结合生活实际改编成试题
一、求角的度数
例1如图1,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠CAB=36°,则∠D的度数为.
例2如图2,AB,AC是⊙O的两条弦,∠A=30°,过点C的切线与OB的延长线交于点D,则∠D的度数为.
例3已知弦AB垂直平分⊙O的半径OC,点P是⊙O上一个动点(不与A,B重合),则∠APB的度数为.
解析1.∠ACB是直径上的圆周角,故∠ACB=90°,由∠CAB=36°可得∠B是其余角,为54°,而∠D与∠B是同弧所对的圆周角,∠D=∠B=54°.
2.∠D=30°.连接OC,由同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍,得∠O=2∠A=60°,再由切线与过切点的半径构成直角,则∠D与∠O互余,故∠D=30°.
3.∠APB=120°或60°.画出草图,分P在优弧上、劣弧上两种情况分析,P在优弧上时结合垂径定理构成直角三角形,角的正弦为0.5,则角为30°,求出等腰三角形顶角、同弧所对的圆心角与圆周角的关系,此时∠APB为60°;当P在劣弧上时,由圆内接四边形对角互补,可得此时∠APB为120°.
二、求圆中线段长度
例4小明想知道水平的广场上大理石球的半径,于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧(如图3),并量得两砖之间的距离是60cm,则大理石球的半径为.
例5如图4,⊙O的直径AB=20cm,点P在线段AB上,且OP∶PB=2∶3,弦CD经过点P,且∠APC=30°,则弦CD的长为.
例6弦AB∥弦CD,AB=8cm,CD=6cm,⊙O的直径为10cm,则弦AB与CD之间的距离为.
例7如图5①,⊙O的直径AB=20cm,点E是半圆的三等分点,点F是弧EB的中点,在AB上找一点P,使EP+FP最短,并求出最小值.
解析4.50cm.由切线性质及圆的对称性构造直角三角形,连接AB,OC,OB,由勾股定理列方程求解.
5.CD=8cm.易得OP=4cm,过O作垂直于CD的线段OE,垂足为E,连接OC,OC=10cm,结合已知∠APC=30°,则OE=OP=2cm,由垂径定理及勾股定理得CD=2CE=8cm.
6.7cm或1cm.利用垂径定理,分AB,CD在圆心的同一侧或两侧来考虑并画图,构造直角三角形,结合勾股定理求解.
7.P点在圆心O处时,EP+FP最短=20cm.结合图5②利用轴对称性及两点之间线段最短,E关于AB的对称点(E),点F、(E)形成的线段为直径,因为弧FA(E)是180°的弧.
三、证明圆切线、求切线长
例8如图6,直线PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点,OP=2,若PA⊥PB,则PA的长为.
例9如图7,△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D是弧BC的中点,连接AD,交BC于点F.①过点D作DE∥BC,交AC的延长线于点E,判断DE是否是⊙O的切线,并说明理由;②若CD=6,AC∶AF=4∶5,求⊙O的半径.
解析8.PA=2.连接OA,OB,由切线性质,可判定四边形OAPB是正方形,从而求解.
9.①DE是⊙O的切线.连接OD,再由D平分弧BC(圆的对称性)得OD⊥BC,由DE∥BC则OD⊥DE,故DE是⊙O的切线.②半径为5.连接BD,∠ACF=∠ADB=90°(直径上的圆周角),由已知及锐角三角函数易得BD=CD=6(等弧所对的弦相等),∠CAD=∠BAD(等弧所对的圆周角相等),sin∠BAD=sin∠CAD=,BD∶AB=3∶5,即6∶AB=3∶5,则AB=10,故⊙O的半径为5.
四、求弧长、面积
弧长l=;S扇形==lR;圆锥侧面积S侧面积=πRl;圆锥全面积S全面积=πRl+πR2.解答弧长、扇形的面积类试题牢记公式,并能进行灵活运用和简单的代数变换,解答扇形、圆锥类试题时,画出圆锥的展开图、示意图,会更加直观、清楚.
例10如图8,在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型.若圆半径为r,扇形的半径为R,扇形的圆心角为90°,则r与R之间的关系是.
解析10.R=4r.因为圆形和扇形纸片能围成一个圆锥模型,所以圆的周长等于扇形的弧长,故=2πr,所以R=4r.